# DF03：抽取、折叠与抗混叠

## 目标

解释为什么 ΔΣ 的带外噪声需要在每次降采样前处理，能列出各级会折入最终信号带的频率区间。

## 讲解

抽取 R 是先滤波 v[n]=H*x，再保留 y[m]=v[Rm+p]。p 是固定相位。只选每 R 个样本不会自动低通；原序列的不同频率会映射到同一个输出频率。

输出 Fs_out=Fs_in/R，频率按 Fs_out 周期折叠，实数频谱通常映射到 [0,Fs_out/2]。一个输入频率 f 可先求 f−round(f/Fs_out)Fs_out，再取绝对值，边界/相位按离散序列精确定义。

给定输出频带 [−BW,BW]，输入中位于 kFs_out±BW 的各段可能折到该带内。这些带的原噪声 PSD 可能很高，尤其在 ΔΣ 噪声整形后。滤波器零点只在一个频点为零，不代表整个折叠带都受足够抑制。

对两边、每 Hz 的 PSD，在线性平稳且各折叠分量可按功率处理的模型下：

```text
S_out,2(f) = sum over R images [|H(f+k*Fs_out)|² * S_in,2(f+k*Fs_out)]
```

频率在输入 Fs 周期内取 R 个互不重复 image 并折回其 Nyquist 区间。这里 PSD 单位是幅度²/Hz，不加额外 1/R；以 rad/sample 归一化的常用公式含 1/R，转换到每 Hz 后系数不同。相关确定性分量应直接在时域/复频域计算，不能一律当独立噪声相加。

白噪声直接抽取后方差不变，但输出 PSD/Hz 变高：R 个输入 image 相加。低通后的方差变化由 H 决定。错误归一化可能让直接抽取看似降低了噪声。

## Worked example

6.144 MHz 直接抽取 128 得 48 ksample/s，47 kHz 会折为 |47−48|=1 kHz。随后再用 20 kHz 低通，1 kHz 位于通带，会被保留，不能还原为原来的 47 kHz 再删除。

若初级只抽取 16 得 384 ksample/s，最终 BW=20 kHz 的首批关注 image 在 384 kHz±20 kHz。后级还有新的折叠带，因此每一级都要按其输入 PSD 和输出率审查。

R_total=128 与 OSR=153.6 的定义不同：前者按输入/输出率，后者按 2BW。输出率必须为信号带留 Nyquist 与过渡带空间。

## 实验

对 3 kHz 信号叠加 47 kHz 带外正弦，比较直接抽取与先低通后抽取。再将带外正弦换成噪声整形序列，积分输出 0–20 kHz 功率，记录 alias 来源。

写出抽取相位 p；两种实现比较时保持相同 p 与初始条件。不能靠每次删除不同数量的起始样本隐藏相位错误。

## 验收

频率与功率归一化正确；47 kHz 反例可复现；列出初级及最终抽取折叠带；解释抽取后滤波无法清除已混入带内的成分。答案见 [DF03 参考](10_answers.md)。